A terület mérése


Egy kert füvesítésekor aszerint vásároljuk a fűmag mennyiséget, hogy mekkora a kert területe. Tapétázáskor a beborítandó falak területére kérünk tapétát. Sokszor van szükségünk területek mérésére, ismeretére. Matematikából tanultuk, hogy a terület meghatározása a hosszúság mérésére vezethető vissza. A háromszög, a négyszög, illetve kör területét képlettel ki tudjuk számítani.
A terület jele matematikában T, fizikában általában A. A terület mértékegysége az 1 négyzetméter (jelölése: m²), de használhatjuk ennek törtrészeit, az 1 cm²-t, illetve az 1 mm²-t is. Nagyobb területeket - például földterületeket - hektárban (100 m oldalhosszúságú négyzet területe), négyzetkilométerben (km²) mérik.
Átváltások:

1 m² = 10 000 cm²
1 m² = 10 000 cm²
1 cm² = 100 mm²
1 ha = 10 000 m²
1 km² = 1 000 000 m²

Közelítő eljárások

Most olyan érdekes, közelítő eljárást ismerünk meg, amelynek segítségével görbe vonalakkal határolt, szabálytalan síkidom területét is meghatározhatjuk.
Először az eljárás lényegét mutatjuk meg egy igen egyszerű példán. Legyen a vizsgált síkidom olyan derékszögű háromszög, amelynek alapja 6 cm, magassága 3 cm! Rajzoljuk be a négyzetrácsos füzetbe (még jobb mm-hálós papírra) vékony ceruzával, pontosan!

A háromszög területét ki tudjuk számítani:

a/ A 6 cm-es alapot 3 egyenlő részre osztjuk, majd az osztásvonalakra kétféle téglalap-sereget rajzolunk: az egyik sereg nagyobb, a másik sereg kisebb a vizsgált háromszög szeleteinél.
Ez a téglalap-sereg a háromszögön kívül van, összterülete nagyobb a háromszög területénél.

  

Ez a téglalap-sereg a háromszögön belül van, összterülete kisebb a háromszög területénél.

  

b/ Finomítsuk a beosztást, a 6cm-es alapot osszuk 6 részre! Rajzoljuk le újra a háromszöget a közelítő külső és belső téglalapokkal együtt! Számítsuk ki most is a kétféle közelítő területet!
c/ Tovább is finomíthatjuk a beosztást, az alapot könnyen oszthatjuk 6, 5, 4, 3, 2, 1 mm-es darabokra, megrajzolhatjuk a közelítő téglalapokat, kiszámíthatjuk a felső és az alsó közelítő értéket.

Alap szélességeFAF-TT-A
2 cm    
1 cm    
0,5 cm    

Megfigyelhetjük, hogy egyre jobban finomítva az alap felosztását, a felső és alsó téglalapösszeg közti különbség egyre csökken. Mivel ismerjük a háromszög T területét, mindegyik felosztásnál kiszámíthatjuk, hogy a közelítő érték mennyivel nagyobb (F-T), illetve mennyivel kisebb (T-A) a háromszög területénél. Láthatjuk, hogy ezek a különbségek egyre csökkennek. Azt mondjuk, hogy F felülről, A pedig alulról tart a háromszög területéhez.

Mérés -- Kezünk területének meghatározása

Hasonló közelítő eljárást alkalmazhatunk görbe vonalakkal határolt síkidom területének meghatározására is. Ilyen esetben természetesen csak azt tudjuk megmondani, hogy milyen két érték között van az ismeretlen terület.
Rajzold körül a kezedet csuklóig a füzetedbe! Vékony ceruzát használj, és ügyelj arra, hogy az íróeszköz mindig merőleges legyen a papírra!
a/ Először becsüld meg, hány cm², illetve hány mm² a kezed területe! A továbbiakban érdemes mm²-ben számolni.
b/ Rajzold meg a külső és belső közelítő vonalakat 5 mm-enként. Számold meg, hány külső, illetve belső 5 mm × 5 mm = 25 mm²-es négyzet van a rajzodon! Mekkora az F és A terület?

Mennyire helyesen becsülted meg kezed területét?

Összegzés:
A terület meghatározását hosszúságmérésre vezetjük vissza. Egyenes vonalakkal határolt szabályos geometriai alakzatok területét a szükséges hosszúságadatok lemérése után matematikai képlettel számítjuk ki. Görbe vonalakkal határolt, szabálytalan alakú síkidomok területének meghatározására nincs képlet, itt közelíto eljárásokat alkalmazunk.

KÉRDÉSEK, FELADATOK

  1. 1. Egy derékszögű háromszög befogói 12 cm és 8 cm. Mekkora a területe? Add meg legalább három különböző mértékegységgel!
  2. 2. Szerkessz egyenlő oldalú szabályos háromszöget! Határozd meg a háromszög területét méréssel és matematikai képlettel történő számítással!
  3. 3. Négyzethálós papíron rajzolj körül egy falevelet és határozd meg minél pontosabban a levél területét!

Módszertani útmutató 


1. mérés -- A kör tertületének meghatározása